动态规划问题特性

在上一节中，我们学习了动态规划是如何通过子问题分解来求解原问题的。实际上，子问题分解是一种通用的算法思路，在分治、动态规划、回溯中的侧重点不同。

• 分治算法递归地将原问题划分为多个相互独立的子问题，直至最小子问题，并在回溯中合并子问题的解，最终得到原问题的解。
• 动态规划也对问题进行递归分解，但与分治算法的主要区别是，动态规划中的子问题是相互依赖的，在分解过程中会出现许多重叠子问题。
• 回溯算法在尝试和回退中穷举所有可能的解，并通过剪枝避免不必要的搜索分支。原问题的解由一系列决策步骤构成，我们可以将每个决策步骤之前的子序列看作一个子问题。

实际上，==动态规划常用来求解最优化问题==，==它们不仅包含重叠子问题==，还具有另外两大特性：==最优子结构、无后效性==。

1.最优子结构

我们对爬楼梯问题稍作改动，使之更加适合展示最优子结构概念。

爬楼梯最小代价

给定一个楼梯，你每步可以上 1 阶或者 2 阶，每一阶楼梯上都贴有一个非负整数，表示你在该台阶所需要付出的代价。给定一个非负整数数组 cost ，其中 cost[i] 表示在第 i 个台阶需要付出的代价，cost[0] 为地面（起始点）。请计算最少需要付出多少代价才能到达顶部？

如图 14-6 所示，若第 1、2、3 阶的代价分别为 1、10、1 ，则从地面爬到第 3 阶的最小代价为 2 。

[

图 14-6   爬到第 3 阶的最小代价

设 dp[i] 为爬到第 i 阶累计付出的代价，由于第 i 阶只可能从 i−1 阶或 i−2 阶走来，因此 dp[i] 只可能等于 dp[i−1]+cost[i] 或 dp[i−2]+cost[i] 。为了尽可能减少代价，我们应该选择两者中较小的那一个： dp[i]=min(dp[i−1],dp[i−2])+cost[i]

这便可以引出最优子结构的含义：原问题的最优解是从子问题的最优解构建得来的。

本题显然具有最优子结构：我们从两个子问题最优解 dp[i−1] 和 dp[i−2] 中挑选出较优的那一个，并用它构建出原问题 dp[i] 的最优解。

那么，上一节的爬楼梯题目有没有最优子结构呢？它的目标是求解方案数量，看似是一个计数问题，但如果换一种问法：“求解最大方案数量”。我们意外地发现，虽然题目修改前后是等价的，但最优子结构浮现出来了：第n 阶最大方案数量等于第 n−1 阶和第 n−2 阶最大方案数量之和。所以说，最优子结构的解释方式比较灵活，在不同问题中会有不同的含义。

根据状态转移方程，以及初始状态 dp[1]=cost[1] 和 dp[2]=cost[2] ，我们就可以得到动态规划代码：

/* 爬楼梯最小代价：动态规划 */
int minCostClimbingStairsDP(int[] cost) {
	// n 为台阶数量
    int n = cost.length - 1;
    if (n == 1 || n == 2)
        return cost[n];
    // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
    int[] dp = new int[n + 1];
    // 初始状态：预设最小子问题的解
    dp[1] = cost[1];
    dp[2] = cost[2];
    // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = Math.min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
    }
    return dp[n];
}

图 14-7 展示了以上代码的动态规划过程。

图 14-7   爬楼梯最小代价的动态规划过程

本题也可以进行空间优化，将一维压缩至零维，使得空间复杂度从 O(n) 降至 O(1) ：

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRubyZig

/* 爬楼梯最小代价：空间优化后的动态规划 */
function minCostClimbingStairsDPComp(cost) {
    const n = cost.length - 1;
    if (n === 1 || n === 2) {
        return cost[n];
    }
    let a = cost[1],
        b = cost[2];
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        const tmp = b;
        b = Math.min(a, tmp) + cost[i];
        a = tmp;
    }
    return b;
}

2.无后效性

无后效性是动态规划能够有效解决问题的重要特性之一，其定义为：给定一个确定的状态，它的未来发展只与当前状态有关，而与过去经历的所有状态无关。

以爬楼梯问题为例，给定状态 i ，它会发展出状态 i+1 和状态 i+2 ，分别对应跳 1 步和跳 2 步。在做出这两种选择时，我们无须考虑状态 i 之前的状态，它们对状态 i 的未来没有影响。

然而，如果我们给爬楼梯问题添加一个约束，情况就不一样了。

带约束爬楼梯

给定一个共有 n 阶的楼梯，你每步可以上 1 阶或者 2 阶，但不能连续两轮跳 1 阶，请问有多少种方案可以爬到楼顶？

如图 14-8 所示，爬上第 3 阶仅剩 2 种可行方案，其中连续三次跳 1 阶的方案不满足约束条件，因此被舍弃。

图 14-8   带约束爬到第 3 阶的方案数量

在该问题中，如果上一轮是跳 1 阶上来的，那么下一轮就必须跳 2 阶。这意味着，下一步选择不能由当前状态（当前所在楼梯阶数）独立决定，还和前一个状态（上一轮所在楼梯阶数）有关。

不难发现，此问题已不满足无后效性，状态转移方程 dp[i]=dp[i−1]+dp[i−2] 也失效了，因为 dp[i−1] 代表本轮跳 1 阶，但其中包含了许多“上一轮是跳 1 阶上来的”方案，而为了满足约束，我们就不能将 dp[i−1] 直接计入 dp[i] 中。

为此，我们需要扩展状态定义：状态 [i,j] 表示处在第 i 阶并且上一轮跳了 j 阶，其中 j∈{1,2} 。此状态定义有效地区分了上一轮跳了 1 阶还是 2 阶，我们可以据此判断当前状态是从何而来的。

• 当上一轮跳了 1 阶时，上上一轮只能选择跳 2 阶，即 dp[i,1] 只能从 dp[i−1,2] 转移过来。
• 当上一轮跳了 2 阶时，上上一轮可选择跳 1 阶或跳 2 阶，即 dp[i,2] 可以从 dp[i−2,1] 或 dp[i−2,2] 转移过来。

如图 14-9 所示，在该定义下，dp[i,j] 表示状态 [i,j] 对应的方案数。此时状态转移方程为：

{dp[i,1]=dp[i−1,2]dp[i,2]=dp[i−2,1]+dp[i−2,2]

图 14-9   考虑约束下的递推关系

最终，返回 dp[n,1]+dp[n,2] 即可，两者之和代表爬到第 n 阶的方案总数：

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRubyZig

climbing_stairs_constraint_dp.java

[](https://www.hello-algo.com/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features/#__codelineno-30-1)/* 带约束爬楼梯：动态规划 */ [](https://www.hello-algo.com/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features/#__codelineno-30-2)int climbingStairsConstraintDP(int n) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features/#__codelineno-30-3) if (n == 1 || n == 2) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features/#__codelineno-30-4) return 1; [](https://www.hello-algo.com/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features/#__codelineno-30-5) } [](https://www.hello-algo.com/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features/#__codelineno-30-6) // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解 [](https://www.hello-algo.com/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features/#__codelineno-30-7) int[][] dp = new int[n + 1][3]; [](https://www.hello-algo.com/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features/#__codelineno-30-8) // 初始状态：预设最小子问题的解 [](https://www.hello-algo.com/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features/#__codelineno-30-9) dp[1][1] = 1; [](https://www.hello-algo.com/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features/#__codelineno-30-10) dp[1][2] = 0; [](https://www.hello-algo.com/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features/#__codelineno-30-11) dp[2][1] = 0; [](https://www.hello-algo.com/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features/#__codelineno-30-12) dp[2][2] = 1; [](https://www.hello-algo.com/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features/#__codelineno-30-13) // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题 [](https://www.hello-algo.com/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features/#__codelineno-30-14) for (int i = 3; i <= n; i++) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features/#__codelineno-30-15) dp[i][1] = dp[i - 1][2]; [](https://www.hello-algo.com/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features/#__codelineno-30-16) dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2]; [](https://www.hello-algo.com/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features/#__codelineno-30-17) } [](https://www.hello-algo.com/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features/#__codelineno-30-18) return dp[n][1] + dp[n][2]; [](https://www.hello-algo.com/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features/#__codelineno-30-19)}

可视化运行

在上面的案例中，由于仅需多考虑前面一个状态，因此我们仍然可以通过扩展状态定义，使得问题重新满足无后效性。然而，某些问题具有非常严重的“有后效性”。

爬楼梯与障碍生成

给定一个共有 n 阶的楼梯，你每步可以上 1 阶或者 2 阶。规定当爬到第 i 阶时，系统自动会在第 2i 阶上放上障碍物，之后所有轮都不允许跳到第 2i 阶上。例如，前两轮分别跳到了第 2、3 阶上，则之后就不能跳到第 4、6 阶上。请问有多少种方案可以爬到楼顶？

在这个问题中，下次跳跃依赖过去所有的状态，因为每一次跳跃都会在更高的阶梯上设置障碍，并影响未来的跳跃。对于这类问题，动态规划往往难以解决。

实际上，许多复杂的组合优化问题（例如旅行商问题）不满足无后效性。对于这类问题，我们通常会选择使用其他方法，例如启发式搜索、遗传算法、强化学习等，从而在有限时间内得到可用的局部最优解。