12.4   汉诺塔问题¶

在归并排序和构建二叉树中，我们都是将原问题分解为两个规模为原问题一半的子问题。然而对于汉诺塔问题，我们采用不同的分解策略。

Question

给定三根柱子，记为 A、B 和 C 。起始状态下，柱子 A 上套着 n 个圆盘，它们从上到下按照从小到大的顺序排列。我们的任务是要把这 n 个圆盘移到柱子 C 上，并保持它们的原有顺序不变（如图 12-10 所示）。在移动圆盘的过程中，需要遵守以下规则。

1. 圆盘只能从一根柱子顶部拿出，从另一根柱子顶部放入。
2. 每次只能移动一个圆盘。
3. 小圆盘必须时刻位于大圆盘之上。

图 12-10   汉诺塔问题示例

我们将规模为 i 的汉诺塔问题记作 f(i) 。例如 f(3) 代表将 3 个圆盘从 A 移动至 C 的汉诺塔问题。

1.   考虑基本情况¶

如图 12-11 所示，对于问题 f(1) ，即当只有一个圆盘时，我们将它直接从 A 移动至 C 即可。

<1><2>

图 12-11   规模为 1 的问题的解

如图 12-12 所示，对于问题 f(2) ，即当有两个圆盘时，由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助 B 来完成移动。

1. 先将上面的小圆盘从 A 移至 B 。
2. 再将大圆盘从 A 移至 C 。
3. 最后将小圆盘从 B 移至 C 。

<1><2><3><4>

图 12-12   规模为 2 的问题的解

解决问题 f(2) 的过程可总结为：将两个圆盘借助 B 从 A 移至 C 。其中，C 称为目标柱、B 称为缓冲柱。

2.   子问题分解¶

对于问题 f(3) ，即当有三个圆盘时，情况变得稍微复杂了一些。

因为已知 f(1) 和 f(2) 的解，所以我们可从分治角度思考，将 A 顶部的两个圆盘看作一个整体，执行图 12-13 所示的步骤。这样三个圆盘就被顺利地从 A 移至 C 了。

1. 令 B 为目标柱、C 为缓冲柱，将两个圆盘从 A 移至 B 。
2. 将 A 中剩余的一个圆盘从 A 直接移动至 C 。
3. 令 C 为目标柱、A 为缓冲柱，将两个圆盘从 B 移至 C 。

<1><2><3><4>

图 12-13   规模为 3 的问题的解

从本质上看，我们将问题 f(3) 划分为两个子问题 f(2) 和一个子问题 f(1) 。按顺序解决这三个子问题之后，原问题随之得到解决。这说明子问题是独立的，而且解可以合并。

至此，我们可总结出图 12-14 所示的解决汉诺塔问题的分治策略：将原问题 f(n) 划分为两个子问题 f(n−1) 和一个子问题 f(1) ，并按照以下顺序解决这三个子问题。

1. 将 n−1 个圆盘借助 C 从 A 移至 B 。
2. 将剩余 1 个圆盘从 A 直接移至 C 。
3. 将 n−1 个圆盘借助 A 从 B 移至 C 。

对于这两个子问题 f(n−1) ，可以通过相同的方式进行递归划分，直至达到最小子问题 f(1) 。而 f(1) 的解是已知的，只需一次移动操作即可。

图 12-14   解决汉诺塔问题的分治策略

3.   代码实现¶

在代码中，我们声明一个递归函数 dfs(i, src, buf, tar) ，它的作用是将柱 src 顶部的 i 个圆盘借助缓冲柱 buf 移动至目标柱 tar ：

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRubyZig

hanota.java

[](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/#__codelineno-2-1)/* 移动一个圆盘 */ [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/#__codelineno-2-2)void move(List<Integer> src, List<Integer> tar) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/#__codelineno-2-3) // 从 src 顶部拿出一个圆盘 [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/#__codelineno-2-4) Integer pan = src.remove(src.size() - 1); [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/#__codelineno-2-5) // 将圆盘放入 tar 顶部 [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/#__codelineno-2-6) tar.add(pan); [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/#__codelineno-2-7)} [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/#__codelineno-2-8) [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/#__codelineno-2-9)/* 求解汉诺塔问题 f(i) */ [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/#__codelineno-2-10)void dfs(int i, List<Integer> src, List<Integer> buf, List<Integer> tar) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/#__codelineno-2-11) // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/#__codelineno-2-12) if (i == 1) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/#__codelineno-2-13) move(src, tar); [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/#__codelineno-2-14) return; [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/#__codelineno-2-15) } [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/#__codelineno-2-16) // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/#__codelineno-2-17) dfs(i - 1, src, tar, buf); [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/#__codelineno-2-18) // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/#__codelineno-2-19) move(src, tar); [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/#__codelineno-2-20) // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/#__codelineno-2-21) dfs(i - 1, buf, src, tar); [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/#__codelineno-2-22)} [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/#__codelineno-2-23) [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/#__codelineno-2-24)/* 求解汉诺塔问题 */ [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/#__codelineno-2-25)void solveHanota(List<Integer> A, List<Integer> B, List<Integer> C) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/#__codelineno-2-26) int n = A.size(); [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/#__codelineno-2-27) // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/#__codelineno-2-28) dfs(n, A, B, C); [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/#__codelineno-2-29)}

可视化运行

如图 12-15 所示，汉诺塔问题形成一棵高度为 n 的递归树，每个节点代表一个子问题，对应一个开启的 dfs() 函数，因此时间复杂度为 O(2n) ，空间复杂度为 O(n) 。

图 12-15   汉诺塔问题的递归树

Quote

汉诺塔问题源自一个古老的传说。在古印度的一个寺庙里，僧侣们有三根高大的钻石柱子，以及 64 个大小不一的金圆盘。僧侣们不断地移动圆盘，他们相信在最后一个圆盘被正确放置的那一刻，这个世界就会结束。

然而，即使僧侣们每秒钟移动一次，总共需要大约 264≈1.84×1019 秒，合约 5850 亿年，远远超过了现在对宇宙年龄的估计。所以，倘若这个传说是真的，我们应该不需要担心世界末日的到来。