二分查找

1.基本概念

> [!tip] 二分查找算法（Binary Search Algorithm） > 也叫做折半查找算法、对数查找算法，是一种用于在有序数组中查找特定元素的高效搜索算法。

核心概念

二分查找（binary search）是一种基于分治策略的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮缩小一半搜索范围，直至找到目标元素或搜索区间为空为止。

给定一个长度为 n 的数组 nums ，元素按从小到大的顺序排列且不重复。请查找并返回元素 target 在该数组中的索引。若数组不包含该元素，则返回 −1 。示例如下图所示。

如图所示，我们先初始化指针 i=0 和 j=n−1 ，分别指向数组首元素和尾元素，代表搜索区间 $[0,n-1]$ 。请注意，中括号表示闭区间，其包含边界值本身。

接下来，循环执行以下两步。

1. 计算中点索引 $m=\lfloor (i+j)/2\rfloor$ ，其中 ⌊⌋ 表示向下取整操作。
2. 判断 nums[m] 和 target 的大小关系，分为以下三种情况。
   1. 当 nums[m] < target 时，说明 target 在区间 $[m+1,j]$ 中，因此执行 i=m+1 。
   2. 当 nums[m] > target 时，说明 target 在区间 $[i,m-1]$ 中，因此执行 j=m−1 。
   3. 当 nums[m] = target 时，说明找到 target ，因此返回索引 m 。

若数组不包含目标元素，搜索区间最终会缩小为空。此时返回 −1 。

下面是图示解释：

值得注意的是，由于 i 和 j 都是 int 类型，因此 i+j 可能会超出 int 类型的取值范围。为了避免大数越界，我们通常采用公式 $m=\lfloor i+(j-i)/2\rfloor$ 来计算中点。

def binary_search(nums: list[int], target: int) -> int:
    """二分查找（双闭区间）"""
    # 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    i, j = 0, len(nums) - 1
    # 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
    while i <= j:
        # 理论上 Python 的数字可以无限大（取决于内存大小），无须考虑大数越界问题
        m = (i + j) // 2  # 计算中点索引 m
        if nums[m] < target:
            i = m + 1  # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
        elif nums[m] > target:
            j = m - 1  # 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
        else:
            return m  # 找到目标元素，返回其索引
    return -1  # 未找到目标元素，返回 -1

>[!warning] 注意： >上述算法传入的数组需要 从小到大排序 且 不重复

时间复杂度为 $O(lo{g}^{}n)$ ：在二分循环中，区间每轮缩小一半，因此循环次数为 $lo{g}_2^{}n$ 。

空间复杂度为 O(1) ：指针 i 和 j 使用常数大小空间。

二分查找力扣题

区间表示方法

除了上述双闭区间外，常见的区间表示还有“左闭右开”区间，定义为 [0,n) ，即左边界包含自身，右边界不包含自身。在该表示下，区间[i,j) 在 i=j 时为空。

我们可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法：

/* 二分查找（左闭右开区间） */
function binarySearchLCRO(nums, target) {
    // 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
    let i = 0,
        j = nums.length;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
    while (i < j) {
        // 计算中点索引 m ，使用 parseInt() 向下取整
        const m = parseInt(i + (j - i) / 2);
        if (nums[m] < target)
            // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target)
            // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
            j = m;
        // 找到目标元素，返回其索引
        else return m;
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}

如图所示，在两种区间表示下，二分查找算法的初始化、循环条件和缩小区间操作皆有所不同。

由于“双闭区间”表示中的左右边界都被定义为闭区间，因此通过指针 i 和指针 j 缩小区间的操作也是对称的。这样更不容易出错，因此一般建议采用“双闭区间”的写法。

优点与局限性

二分查找在时间和空间方面都有较好的性能。

• 二分查找的时间效率高。在大数据量下，对数阶的时间复杂度具有显著优势。例如，当数据大小 $\text{n=2^\&\#123;20\&\#125;}$ 时，线性查找需要 $\text{2^\&\#123;20\&\#125;=1048576}$ 轮循环，而二分查找仅需 $\text{log\_2^⁡{2^\&\#123;20\&\#125;}=20}$ 轮循环。
• 二分查找无须额外空间。相较于需要借助额外空间的搜索算法（例如哈希查找），二分查找更加节省空间。

然而，二分查找并非适用于所有情况，主要有以下原因。

• 二分查找仅适用于有序数据。若输入数据无序，为了使用二分查找而专门进行排序，得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 O($nlogn$) ，比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景，为保持数组有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 O(n) ，也是非常昂贵的。
• 二分查找仅适用于数组。二分查找需要跳跃式（非连续地）访问元素，而在链表中执行跳跃式访问的效率较低，因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。
• 小数据量下，线性查找性能更佳。在线性查找中，每轮只需 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，当数据量 n 较小时，线性查找反而比二分查找更快。

2.二分查找插入点

二分查找不仅可用于搜索目标元素，还可用于解决许多变种问题，比如搜索目标元素的插入位置。

无重复元素的情况

>[!Question] 给定一个长度为 n 的有序数组 nums 和一个元素 target ，数组不存在重复元素。现将 target 插入数组 nums 中，并保持其有序性。若数组中已存在元素 target ，则插入到其左方。请返回插入后 target 在数组中的索引。示例如下图所示。

如果想复用上一节的二分查找代码，则需要回答以下两个问题。

问题一：当数组中包含 target 时，插入点的索引是否是该元素的索引？

• 要求将 target 插入到相等元素的左边，这意味着新插入的 target 替换了原来 target 的位置。也就是说，当数组包含 target 时，插入点的索引就是该 target 的索引。

问题二：当数组中不存在 target 时，插入点是哪个元素的索引？

进一步思考二分查找过程：当 nums[m] < target 时 i 移动，这意味着指针 i 在向大于等于 target 的元素靠近。同理，指针 j 始终在向小于等于 target 的元素靠近。

• 因此二分结束时一定有：i 指向首个大于 target 的元素，j 指向首个小于 target 的元素。易得当数组不包含 target 时，插入索引为 i 。代码如下所示：

def binary_search_insertion_simple(nums: list[int], target: int) -> int:
    """二分查找插入点（无重复元素）"""
    i, j = 0, len(nums) - 1  # 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while i <= j:
        m = (i + j) // 2  # 计算中点索引 m
        if nums[m] < target:
            i = m + 1  # target 在区间 [m+1, j] 中
        elif nums[m] > target:
            j = m - 1  # target 在区间 [i, m-1] 中
        else:
            return m  # 找到 target ，返回插入点 m
    # 未找到 target ，返回插入点 i
    return i

存在重复元素的情况

>[!Question] 在上一题的基础上，规定数组可能包含重复元素，其余不变。

假设数组中存在多个 target ，则普通二分查找只能返回其中一个 target 的索引，而无法确定该元素的左边和右边还有多少 target。

题目要求将目标元素插入到最左边，所以我们需要查找数组中最左一个 target 的索引。初步考虑通过下图所示的步骤实现。

1. 执行二分查找，得到任意一个 target 的索引，记为 k 。
2. 从索引 k 开始，向左进行线性遍历，当找到最左边的 target 时返回。

此方法虽然可用，但其包含线性查找，因此时间复杂度为 O(n) 。当数组中存在很多重复的 target 时，该方法效率很低。

现考虑拓展二分查找代码。

如下图所示，整体流程保持不变，每轮先计算中点索引 m ，再判断 target 和 nums[m] 的大小关系，分为以下几种情况。

• 当 nums[m] < target 或 nums[m] > target 时，说明还没有找到 target ，因此采用普通二分查找的缩小区间操作，从而使指针 i 和 j 向 target 靠近。
• 当 nums[m] == target 时，说明小于 target 的元素在区间 [i,m−1] 中，因此采用 j=m−1 来缩小区间，从而使指针 j 向小于 target 的元素靠近。

循环完成后，i 指向最左边的 target ，j 指向首个小于 target 的元素，因此索引 i 就是插入点。

观察以下代码，判断分支 nums[m] > target 和 nums[m] == target 的操作相同，因此两者可以合并。

即便如此，我们仍然可以将判断条件保持展开，因为其逻辑更加清晰、可读性更好。

/* 二分查找插入点（存在重复元素） */
int binarySearchInsertion(int[] nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
        }
    }
    // 返回插入点 i
    return i;
}

>[!Tip] 本节的代码都是“双闭区间”写法。有兴趣的读者可以自行实现“左闭右开”写法。

总的来看，二分查找无非就是给指针 i 和 j 分别设定搜索目标，目标可能是一个具体的元素（例如 target），也可能是一个元素范围（例如小于 target 的元素）。

在不断的循环二分中，指针 i 和 j 都逐渐逼近预先设定的目标。最终，它们或是成功找到答案，或是越过边界后停止。

3.二分查找边界

查找左边界

>[!Question] 给定一个长度为 n 的有序数组 nums ，其中可能包含重复元素。请返回数组中最左一个元素 target 的索引。若数组中不包含该元素，则返回 −1 。

回忆二分查找插入点的方法，搜索完成后 i 指向最左一个 target ，因此查找插入点本质上是在查找最左一个 target 的索引。

考虑通过查找插入点的函数实现查找左边界。请注意，数组中可能不包含 target ，这种情况可能导致以下两种结果。

• 插入点的索引 i 越界。
• 元素 nums[i] 与 target 不相等。

当遇到以上两种情况时，直接返回 −1 即可。代码如下所示：

def binary_search_left_edge(nums: list[int], target: int) -> int:
    """二分查找最左一个 target"""
    # 等价于查找 target 的插入点
    i = binary_search_insertion(nums, target)
    # 未找到 target ，返回 -1
    if i == len(nums) or nums[i] != target:
        return -1
    # 找到 target ，返回索引 i
    return i

查找右边界

那么如何查找最右一个 target 呢？最直接的方式是修改代码，替换在 nums[m] == target 情况下的指针收缩操作。

下面我们介绍两种更加取巧的方法。

1.复用查找左边界

实际上，我们可以利用查找最左元素的函数来查找最右元素，具体方法为：将查找最右一个 target 转化为查找最左一个 target + 1。

如下图所示，查找完成后，指针 i 指向最左一个 target + 1（如果存在），而 j 指向最右一个 target ，因此返回 j 即可。

请注意，返回的插入点是 i ，因此需要将其减 1 ，从而获得 j ：

def binary_search_right_edge(nums: list[int], target: int) -> int:
    """二分查找最右一个 target"""
    # 转化为查找最左一个 target + 1
    i = binary_search_insertion(nums, target + 1)
    # j 指向最右一个 target ，i 指向首个大于 target 的元素
    j = i - 1
    # 未找到 target ，返回 -1
    if j == -1 or nums[j] != target:
        return -1
    # 找到 target ，返回索引 j
    return j

2. 转化为查找元素

我们知道，当数组不包含 target 时，最终 i 和 j 会分别指向首个大于、小于 target 的元素。

因此，如下图所示，我们可以构造一个数组中不存在的元素，用于查找左右边界。

• 查找最左一个 target ：可以转化为查找 target - 0.5 ，并返回指针 i 。
• 查找最右一个 target ：可以转化为查找 target + 0.5 ，并返回指针 j 。

代码在此省略，以下两点值得注意。

• 给定数组不包含小数，这意味着我们无须关心如何处理相等的情况。
• 因为该方法引入了小数，所以需要将函数中的变量 target 改为浮点数类型（Python 无须改动）。