13.2   全排列问题¶

全排列问题是回溯算法的一个典型应用。它的定义是在给定一个集合（如一个数组或字符串）的情况下，找出其中元素的所有可能的排列。

表 13-2 列举了几个示例数据，包括输入数组和对应的所有排列。

表 13-2   全排列示例

输入数组	所有排列
[1]	[1]
[1,2]	[1,2],[2,1]
[1,2,3]	[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]

13.2.1   无相等元素的情况¶

Question

输入一个整数数组，其中不包含重复元素，返回所有可能的排列。

从回溯算法的角度看，我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果。假设输入数组为 [1,2,3] ，如果我们先选择 1 ，再选择 3 ，最后选择 2 ，则获得排列 [1,3,2] 。回退表示撤销一个选择，之后继续尝试其他选择。

从回溯代码的角度看，候选集合 choices 是输入数组中的所有元素，状态 state 是直至目前已被选择的元素。请注意，每个元素只允许被选择一次，因此 state 中的所有元素都应该是唯一的。

如图 13-5 所示，我们可以将搜索过程展开成一棵递归树，树中的每个节点代表当前状态 state 。从根节点开始，经过三轮选择后到达叶节点，每个叶节点都对应一个排列。

图 13-5   全排列的递归树

1.   重复选择剪枝¶

为了实现每个元素只被选择一次，我们考虑引入一个布尔型数组 selected ，其中 selected[i] 表示 choices[i] 是否已被选择，并基于它实现以下剪枝操作。

• 在做出选择 choice[i] 后，我们就将 selected[i] 赋值为 True ，代表它已被选择。
• 遍历选择列表 choices 时，跳过所有已被选择的节点，即剪枝。

如图 13-6 所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1 和元素 3 的分支。

图 13-6   全排列剪枝示例

观察图 13-6 发现，该剪枝操作将搜索空间大小从 O(nn) 减小至 O(n!) 。

2.   代码实现¶

想清楚以上信息之后，我们就可以在框架代码中做“完形填空”了。为了缩短整体代码，我们不单独实现框架代码中的各个函数，而是将它们展开在 backtrack() 函数中：

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRubyZig

permutations_i.java

[](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-1)/* 回溯算法：全排列 I */ [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-2)void backtrack(List<Integer> state, int[] choices, boolean[] selected, List<List<Integer>> res) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-3) // 当状态长度等于元素数量时，记录解 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-4) if (state.size() == choices.length) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-5) res.add(new ArrayList<Integer>(state)); [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-6) return; [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-7) } [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-8) // 遍历所有选择 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-9) for (int i = 0; i < choices.length; i++) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-10) int choice = choices[i]; [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-11) // 剪枝：不允许重复选择元素 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-12) if (!selected[i]) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-13) // 尝试：做出选择，更新状态 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-14) selected[i] = true; [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-15) state.add(choice); [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-16) // 进行下一轮选择 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-17) backtrack(state, choices, selected, res); [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-18) // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-19) selected[i] = false; [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-20) state.remove(state.size() - 1); [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-21) } [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-22) } [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-23)} [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-24) [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-25)/* 全排列 I */ [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-26)List<List<Integer>> permutationsI(int[] nums) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-27) List<List<Integer>> res = new ArrayList<List<Integer>>(); [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-28) backtrack(new ArrayList<Integer>(), nums, new boolean[nums.length], res); [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-29) return res; [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-2-30)}

可视化运行

13.2.2   考虑相等元素的情况¶

Question

输入一个整数数组，数组中可能包含重复元素，返回所有不重复的排列。

假设输入数组为 [1,1,2] 。为了方便区分两个重复元素 1 ，我们将第二个 1 记为 1^ 。

如图 13-7 所示，上述方法生成的排列有一半是重复的。

图 13-7   重复排列

那么如何去除重复的排列呢？最直接地，考虑借助一个哈希集合，直接对排列结果进行去重。然而这样做不够优雅，因为生成重复排列的搜索分支没有必要，应当提前识别并剪枝，这样可以进一步提升算法效率。

1.   相等元素剪枝¶

观察图 13-8 ，在第一轮中，选择 1 或选择 1^ 是等价的，在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此应该把 1^ 剪枝。

同理，在第一轮选择 2 之后，第二轮选择中的 1 和 1^ 也会产生重复分支，因此也应将第二轮的 1^ 剪枝。

从本质上看，我们的目标是在某一轮选择中，保证多个相等的元素仅被选择一次。

图 13-8   重复排列剪枝

2.   代码实现¶

在上一题的代码的基础上，我们考虑在每一轮选择中开启一个哈希集合 duplicated ，用于记录该轮中已经尝试过的元素，并将重复元素剪枝：

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRubyZig

permutations_ii.java

[](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-1)/* 回溯算法：全排列 II */ [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-2)void backtrack(List<Integer> state, int[] choices, boolean[] selected, List<List<Integer>> res) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-3) // 当状态长度等于元素数量时，记录解 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-4) if (state.size() == choices.length) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-5) res.add(new ArrayList<Integer>(state)); [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-6) return; [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-7) } [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-8) // 遍历所有选择 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-9) Set<Integer> duplicated = new HashSet<Integer>(); [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-10) for (int i = 0; i < choices.length; i++) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-11) int choice = choices[i]; [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-12) // 剪枝：不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-13) if (!selected[i] && !duplicated.contains(choice)) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-14) // 尝试：做出选择，更新状态 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-15) duplicated.add(choice); // 记录选择过的元素值 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-16) selected[i] = true; [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-17) state.add(choice); [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-18) // 进行下一轮选择 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-19) backtrack(state, choices, selected, res); [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-20) // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-21) selected[i] = false; [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-22) state.remove(state.size() - 1); [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-23) } [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-24) } [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-25)} [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-26) [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-27)/* 全排列 II */ [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-28)List<List<Integer>> permutationsII(int[] nums) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-29) List<List<Integer>> res = new ArrayList<List<Integer>>(); [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-30) backtrack(new ArrayList<Integer>(), nums, new boolean[nums.length], res); [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-31) return res; [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/permutations_problem/#__codelineno-16-32)}

可视化运行

假设元素两两之间互不相同，则 n 个元素共有 n! 种排列（阶乘）；在记录结果时，需要复制长度为 n 的列表，使用 O(n) 时间。因此时间复杂度为 O(n!n) 。

最大递归深度为 n ，使用 O(n) 栈帧空间。selected 使用 O(n) 空间。同一时刻最多共有 n 个 duplicated ，使用 O(n2) 空间。因此空间复杂度为 O(n2) 。

3.   两种剪枝对比¶

请注意，虽然 selected 和 duplicated 都用于剪枝，但两者的目标不同。

• 重复选择剪枝：整个搜索过程中只有一个 selected 。它记录的是当前状态中包含哪些元素，其作用是避免某个元素在 state 中重复出现。
• 相等元素剪枝：每轮选择（每个调用的 backtrack 函数）都包含一个 duplicated 。它记录的是在本轮遍历（for 循环）中哪些元素已被选择过，其作用是保证相等元素只被选择一次。

图 13-9 展示了两个剪枝条件的生效范围。注意，树中的每个节点代表一个选择，从根节点到叶节点的路径上的各个节点构成一个排列。

图 13-9   两种剪枝条件的作用范围