12.3   构建二叉树问题¶

Question

给定一棵二叉树的前序遍历 preorder 和中序遍历 inorder ，请从中构建二叉树，返回二叉树的根节点。假设二叉树中没有值重复的节点（如图 12-5 所示）。

图 12-5   构建二叉树的示例数据

1.   判断是否为分治问题¶

原问题定义为从 preorder 和 inorder 构建二叉树，是一个典型的分治问题。

• 问题可以分解：从分治的角度切入，我们可以将原问题划分为两个子问题：构建左子树、构建右子树，加上一步操作：初始化根节点。而对于每棵子树（子问题），我们仍然可以复用以上划分方法，将其划分为更小的子树（子问题），直至达到最小子问题（空子树）时终止。
• 子问题是独立的：左子树和右子树是相互独立的，它们之间没有交集。在构建左子树时，我们只需关注中序遍历和前序遍历中与左子树对应的部分。右子树同理。
• 子问题的解可以合并：一旦得到了左子树和右子树（子问题的解），我们就可以将它们链接到根节点上，得到原问题的解。

2.   如何划分子树¶

根据以上分析，这道题可以使用分治来求解，但如何通过前序遍历 preorder 和中序遍历 inorder 来划分左子树和右子树呢？

根据定义，preorder 和 inorder 都可以划分为三个部分。

• 前序遍历：[ 根节点 | 左子树 | 右子树 ] ，例如图 12-5 的树对应 [ 3 | 9 | 2 1 7 ] 。
• 中序遍历：[ 左子树 | 根节点 ｜ 右子树 ] ，例如图 12-5 的树对应 [ 9 | 3 | 1 2 7 ] 。

以上图数据为例，我们可以通过图 12-6 所示的步骤得到划分结果。

1. 前序遍历的首元素 3 是根节点的值。
2. 查找根节点 3 在 inorder 中的索引，利用该索引可将 inorder 划分为 [ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ] 。
3. 根据 inorder 的划分结果，易得左子树和右子树的节点数量分别为 1 和 3 ，从而可将 preorder 划分为 [ 3 | 9 | 2 1 7 ] 。

图 12-6   在前序遍历和中序遍历中划分子树

3.   基于变量描述子树区间¶

根据以上划分方法，我们已经得到根节点、左子树、右子树在 preorder 和 inorder 中的索引区间。而为了描述这些索引区间，我们需要借助几个指针变量。

• 将当前树的根节点在 preorder 中的索引记为 i 。
• 将当前树的根节点在 inorder 中的索引记为 m 。
• 将当前树在 inorder 中的索引区间记为 [l,r] 。

如表 12-1 所示，通过以上变量即可表示根节点在 preorder 中的索引，以及子树在 inorder 中的索引区间。

表 12-1   根节点和子树在前序遍历和中序遍历中的索引

	根节点在 preorder 中的索引	子树在 inorder 中的索引区间
当前树	i	[l,r]
左子树	i+1	[l,m−1]
右子树	i+1+(m−l)	[m+1,r]

请注意，右子树根节点索引中的 (m−l) 的含义是“左子树的节点数量”，建议结合图 12-7 理解。

图 12-7   根节点和左右子树的索引区间表示

4.   代码实现¶

为了提升查询 m 的效率，我们借助一个哈希表 hmap 来存储数组 inorder 中元素到索引的映射：

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRubyZig

build_tree.java

[](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/#__codelineno-2-1)/* 构建二叉树：分治 */ [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/#__codelineno-2-2)TreeNode dfs(int[] preorder, Map<Integer, Integer> inorderMap, int i, int l, int r) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/#__codelineno-2-3) // 子树区间为空时终止 [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/#__codelineno-2-4) if (r - l < 0) [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/#__codelineno-2-5) return null; [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/#__codelineno-2-6) // 初始化根节点 [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/#__codelineno-2-7) TreeNode root = new TreeNode(preorder[i]); [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/#__codelineno-2-8) // 查询 m ，从而划分左右子树 [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/#__codelineno-2-9) int m = inorderMap.get(preorder[i]); [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/#__codelineno-2-10) // 子问题：构建左子树 [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/#__codelineno-2-11) root.left = dfs(preorder, inorderMap, i + 1, l, m - 1); [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/#__codelineno-2-12) // 子问题：构建右子树 [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/#__codelineno-2-13) root.right = dfs(preorder, inorderMap, i + 1 + m - l, m + 1, r); [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/#__codelineno-2-14) // 返回根节点 [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/#__codelineno-2-15) return root; [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/#__codelineno-2-16)} [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/#__codelineno-2-17) [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/#__codelineno-2-18)/* 构建二叉树 */ [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/#__codelineno-2-19)TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/#__codelineno-2-20) // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射 [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/#__codelineno-2-21) Map<Integer, Integer> inorderMap = new HashMap<>(); [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/#__codelineno-2-22) for (int i = 0; i < inorder.length; i++) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/#__codelineno-2-23) inorderMap.put(inorder[i], i); [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/#__codelineno-2-24) } [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/#__codelineno-2-25) TreeNode root = dfs(preorder, inorderMap, 0, 0, inorder.length - 1); [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/#__codelineno-2-26) return root; [](https://www.hello-algo.com/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/#__codelineno-2-27)}

可视化运行

图 12-8 展示了构建二叉树的递归过程，各个节点是在向下“递”的过程中建立的，而各条边（引用）是在向上“归”的过程中建立的。

<1><2><3><4><5><6><7><8><9>

图 12-8   构建二叉树的递归过程

每个递归函数内的前序遍历 preorder 和中序遍历 inorder 的划分结果如图 12-9 所示。

图 12-9   每个递归函数中的划分结果

设树的节点数量为 n ，初始化每一个节点（执行一个递归函数 dfs() ）使用 O(1) 时间。因此总体时间复杂度为 O(n) 。

哈希表存储 inorder 元素到索引的映射，空间复杂度为 O(n) 。在最差情况下，即二叉树退化为链表时，递归深度达到 n ，使用 O(n) 的栈帧空间。因此总体空间复杂度为 O(n) 。