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13.3   子集和问题 ​

13.3.1   无重复元素的情况 ​

Question

给定一个正整数数组 nums 和一个目标正整数 target ，请找出所有可能的组合，使得组合中的元素和等于 target 。给定数组无重复元素，每个元素可以被选取多次。请以列表形式返回这些组合，列表中不应包含重复组合。

例如，输入集合 {3,4,5} 和目标整数 9 ，解为 {3,3,3},{4,5} 。需要注意以下两点。

  • 输入集合中的元素可以被无限次重复选取。
  • 子集不区分元素顺序，比如 {4,5} 和 {5,4} 是同一个子集。

1.   参考全排列解法 ​

类似于全排列问题，我们可以把子集的生成过程想象成一系列选择的结果，并在选择过程中实时更新“元素和”，当元素和等于 target 时，就将子集记录至结果列表。

而与全排列问题不同的是，本题集合中的元素可以被无限次选取，因此无须借助 selected 布尔列表来记录元素是否已被选择。我们可以对全排列代码进行小幅修改，初步得到解题代码：

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRubyZig

subset_sum_i_naive.java

[](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-1)/* 回溯算法：子集和 I */ [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-2)void backtrack(List<Integer> state, int target, int total, int[] choices, List<List<Integer>> res) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-3) // 子集和等于 target 时，记录解 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-4) if (total == target) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-5) res.add(new ArrayList<>(state)); [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-6) return; [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-7) } [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-8) // 遍历所有选择 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-9) for (int i = 0; i < choices.length; i++) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-10) // 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-11) if (total + choices[i] > target) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-12) continue; [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-13) } [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-14) // 尝试：做出选择，更新元素和 total [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-15) state.add(choices[i]); [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-16) // 进行下一轮选择 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-17) backtrack(state, target, total + choices[i], choices, res); [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-18) // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-19) state.remove(state.size() - 1); [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-20) } [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-21)} [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-22) [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-23)/* 求解子集和 I（包含重复子集） */ [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-24)List<List<Integer>> subsetSumINaive(int[] nums, int target) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-25) List<Integer> state = new ArrayList<>(); // 状态（子集） [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-26) int total = 0; // 子集和 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-27) List<List<Integer>> res = new ArrayList<>(); // 结果列表（子集列表） [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-28) backtrack(state, target, total, nums, res); [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-29) return res; [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-2-30)}

可视化运行

向以上代码输入数组 [3,4,5] 和目标元素 9 ，输出结果为 [3,3,3],[4,5],[5,4] 。虽然成功找出了所有和为 9 的子集，但其中存在重复的子集 [4,5] 和 [5,4] 。

这是因为搜索过程是区分选择顺序的，然而子集不区分选择顺序。如图 13-10 所示，先选 4 后选 5 与先选 5 后选 4 是不同的分支，但对应同一个子集。

子集搜索与越界剪枝

图 13-10   子集搜索与越界剪枝

为了去除重复子集，一种直接的思路是对结果列表进行去重。但这个方法效率很低，有两方面原因。

  • 当数组元素较多，尤其是当 target 较大时，搜索过程会产生大量的重复子集。
  • 比较子集（数组）的异同非常耗时，需要先排序数组，再比较数组中每个元素的异同。

2.   重复子集剪枝 ​

我们考虑在搜索过程中通过剪枝进行去重。观察图 13-11 ，重复子集是在以不同顺序选择数组元素时产生的，例如以下情况。

  1. 当第一轮和第二轮分别选择 3 和 4 时，会生成包含这两个元素的所有子集，记为 [3,4,…] 。
  2. 之后，当第一轮选择 4 时，则第二轮应该跳过 3 ，因为该选择产生的子集 [4,3,…] 和第 1. 步中生成的子集完全重复。

在搜索过程中，每一层的选择都是从左到右被逐个尝试的，因此越靠右的分支被剪掉的越多。

  1. 前两轮选择 3 和 5 ，生成子集 [3,5,…] 。
  2. 前两轮选择 4 和 5 ，生成子集 [4,5,…] 。
  3. 若第一轮选择 5 ，则第二轮应该跳过 3 和 4 ，因为子集 [5,3,…] 和 [5,4,…] 与第 1. 步和第 2. 步中描述的子集完全重复。

不同选择顺序导致的重复子集

图 13-11   不同选择顺序导致的重复子集

总结来看，给定输入数组 [x1,x2,…,xn] ，设搜索过程中的选择序列为 [xi1,xi2,…,xim] ，则该选择序列需要满足 i1≤i2≤⋯≤im ，不满足该条件的选择序列都会造成重复，应当剪枝。

3.   代码实现 ​

为实现该剪枝，我们初始化变量 start ，用于指示遍历起始点。当做出选择 xi 后，设定下一轮从索引 i 开始遍历。这样做就可以让选择序列满足 i1≤i2≤⋯≤im ，从而保证子集唯一。

除此之外，我们还对代码进行了以下两项优化。

  • 在开启搜索前，先将数组 nums 排序。在遍历所有选择时，当子集和超过 target 时直接结束循环，因为后边的元素更大，其子集和一定超过 target 。
  • 省去元素和变量 total ，通过在 target 上执行减法来统计元素和，当 target 等于 0 时记录解。

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRubyZig

subset_sum_i.java

[](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-1)/* 回溯算法：子集和 I */ [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-2)void backtrack(List<Integer> state, int target, int[] choices, int start, List<List<Integer>> res) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-3) // 子集和等于 target 时，记录解 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-4) if (target == 0) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-5) res.add(new ArrayList<>(state)); [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-6) return; [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-7) } [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-8) // 遍历所有选择 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-9) // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-10) for (int i = start; i < choices.length; i++) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-11) // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-12) // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-13) if (target - choices[i] < 0) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-14) break; [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-15) } [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-16) // 尝试：做出选择，更新 target, start [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-17) state.add(choices[i]); [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-18) // 进行下一轮选择 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-19) backtrack(state, target - choices[i], choices, i, res); [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-20) // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-21) state.remove(state.size() - 1); [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-22) } [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-23)} [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-24) [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-25)/* 求解子集和 I */ [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-26)List<List<Integer>> subsetSumI(int[] nums, int target) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-27) List<Integer> state = new ArrayList<>(); // 状态（子集） [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-28) Arrays.sort(nums); // 对 nums 进行排序 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-29) int start = 0; // 遍历起始点 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-30) List<List<Integer>> res = new ArrayList<>(); // 结果列表（子集列表） [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-31) backtrack(state, target, nums, start, res); [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-32) return res; [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-16-33)}

可视化运行

图 13-12 所示为将数组 [3,4,5] 和目标元素 9 输入以上代码后的整体回溯过程。

子集和 I 回溯过程

图 13-12   子集和 I 回溯过程

13.3.2   考虑重复元素的情况 ​

Question

给定一个正整数数组 nums 和一个目标正整数 target ，请找出所有可能的组合，使得组合中的元素和等于 target 。给定数组可能包含重复元素，每个元素只可被选择一次。请以列表形式返回这些组合，列表中不应包含重复组合。

相比于上题，本题的输入数组可能包含重复元素，这引入了新的问题。例如，给定数组 [4,4^,5] 和目标元素 9 ，则现有代码的输出结果为 [4,5],[4^,5] ，出现了重复子集。

造成这种重复的原因是相等元素在某轮中被多次选择。在图 13-13 中，第一轮共有三个选择，其中两个都为 4 ，会产生两个重复的搜索分支，从而输出重复子集；同理，第二轮的两个 4 也会产生重复子集。

相等元素导致的重复子集

图 13-13   相等元素导致的重复子集

1.   相等元素剪枝 ​

为解决此问题，我们需要限制相等元素在每一轮中只能被选择一次。实现方式比较巧妙：由于数组是已排序的，因此相等元素都是相邻的。这意味着在某轮选择中，若当前元素与其左边元素相等，则说明它已经被选择过，因此直接跳过当前元素。

与此同时，本题规定每个数组元素只能被选择一次。幸运的是，我们也可以利用变量 start 来满足该约束：当做出选择 xi 后，设定下一轮从索引 i+1 开始向后遍历。这样既能去除重复子集，也能避免重复选择元素。

2.   代码实现 ​

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRubyZig

subset_sum_ii.java

[](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-1)/* 回溯算法：子集和 II */ [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-2)void backtrack(List<Integer> state, int target, int[] choices, int start, List<List<Integer>> res) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-3) // 子集和等于 target 时，记录解 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-4) if (target == 0) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-5) res.add(new ArrayList<>(state)); [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-6) return; [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-7) } [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-8) // 遍历所有选择 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-9) // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-10) // 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-11) for (int i = start; i < choices.length; i++) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-12) // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-13) // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-14) if (target - choices[i] < 0) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-15) break; [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-16) } [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-17) // 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-18) if (i > start && choices[i] == choices[i - 1]) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-19) continue; [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-20) } [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-21) // 尝试：做出选择，更新 target, start [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-22) state.add(choices[i]); [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-23) // 进行下一轮选择 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-24) backtrack(state, target - choices[i], choices, i + 1, res); [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-25) // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-26) state.remove(state.size() - 1); [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-27) } [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-28)} [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-29) [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-30)/* 求解子集和 II */ [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-31)List<List<Integer>> subsetSumII(int[] nums, int target) { [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-32) List<Integer> state = new ArrayList<>(); // 状态（子集） [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-33) Arrays.sort(nums); // 对 nums 进行排序 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-34) int start = 0; // 遍历起始点 [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-35) List<List<Integer>> res = new ArrayList<>(); // 结果列表（子集列表） [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-36) backtrack(state, target, nums, start, res); [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-37) return res; [](https://www.hello-algo.com/chapter_backtracking/subset_sum_problem/#__codelineno-30-38)}

可视化运行

图 13-14 展示了数组 [4,4,5] 和目标元素 9 的回溯过程，共包含四种剪枝操作。请你将图示与代码注释相结合，理解整个搜索过程，以及每种剪枝操作是如何工作的。

子集和 II 回溯过程

图 13-14   子集和 II 回溯过程

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